Troisième loi de Kepler : période orbitale et rayon
1 · Prédire
Un satellite tourne autour d’une masse centrale sur une orbite circulaire stable. Lorsque vous le déplacez vers un rayon d’orbite plus grand, comment le temps nécessaire pour effectuer un tour complet change-t-il ?
- Une orbite plus grande prend plus de temps par tour.
- La période reste la même dans n'importe quel rayon.
- Une orbite plus grande prend moins de temps par révolution.
2 · Configurer
- Ouvrez le préréglage grav-kepler-law. Un satellite orbite autour de la masse centrale ; le minuteur d'orbite et la sonde de période sont déjà fixés.
- Définissez le rayon d'orbite du satellite r, puis lancez-le latéralement à la vitesse d'orbite circulaire indiquée sur la carte de formule v = √(GM/r) afin que l'orbite reste circulaire.
- Laissez le satellite effectuer au moins une boucle complète et lisez la période orbitale T sur la minuterie une fois que l'orbite est stable.
3 · Collecter les Données
| Rayon de l'orbite r (m) | Vitesse circulaire v (m/s) | Période mesurée T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Tracez T² (axe vertical) en fonction de r³ (axe horizontal) pour vos trois orbites. Tracez la droite de meilleur ajustement passant par l'origine et déterminez sa pente.
4 · Analyser
- Pour chaque ligne, calculez T²/r³. Les trois valeurs sont-elles à peu près égales ? Comparez leur moyenne à 4π²/GM en utilisant GM = 40 (donc 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- Votre droite T² en fonction de r³ doit passer par l'origine. Expliquez pourquoi cette droite passant par l'origine est exactement ce que prédit T² = (4π²/GM)·r³, et ce que représente la pente.
5 · Approfondir
- Les planètes réelles obéissent à la même loi : Mercure (petite orbite) fait le tour du Soleil en 88 jours tandis que Neptune (grande orbite) met 165 années. Utilisez T²/r³ = constante pour expliquer cette énorme différence.
- La constante de Kepler est ici de 4π²/GM, elle dépend donc de la masse centrale, pas du satellite. Prédisez ce qui arrive à la période de chaque orbite si le GM du corps central était doublé.
La physique derrière cette expérience
Troisième loi de Kepler
Pour toute orbite autour d'une masse centrale donnée, la période au carré est proportionnelle au rayon moyen au cube : T²/r³ = 4π²/GM. Le rapport est le même pour chaque orbite, donc le fait de synchroniser une orbite à un rayon connu révèle GM.
Vitesse orbitale circulaire
Un corps sur une orbite circulaire de rayon r doit se déplacer à v = √(GM/r) : la vitesse qui permet à la gravité de fournir exactement la force centripète nécessaire. Le lancement à cette vitesse maintient l'orbite circulaire plutôt qu'elliptique.