보어 모델과 수소 스펙트럼

원자 안의 전자는 사다리의 가로막대처럼 특정한 고정된 에너지 준위에만 놓일 수 있고, 그 사이에는 결터 앉을 수 없다. 전자가 더 높은 가로막대에서 더 낮은 가로막대로 뛰어내려오면, 정확히 그 에너지 차이를 나르는 광자 하나를 내보낸다. 이것이 수소가 부드러운 무지개가 아닌 날카롭고 뚜렷한 색으로 빛나는 이유이다.

공식

1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)

• λ — 파장 (m): 전자의 전이가 내보내는 빛의 파장
• R — 리드베리 상수 (1/m): 수소 에너지 준위의 스케일을 정하는 고정 상수
• n₁ — 아래 준위 (—): 전자가 착지하는, 핵에 더 가까운 에너지 준위
• n₂ — 위 준위 (—): 전자가 출발하는, 핵에서 더 먼 에너지 준위

풀이 예제

수소 원자 안의 전자가 에너지 준위 n = 3에서 n = 2로 떨어진다 ― 발머 계열의 첫 번째 선입니다. 리드베리 상수 R로 1/λ를 구하세요.

• n₁ = 2
• n₂ = 3

1. 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
2. 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)

1/λ = 5R/36

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어디서 볼 수 있나요

수소 방전관은 매끈한 무지개가 아니라 특유의 연보라빛 분홍색으로 빛나고, 천문학자들은 별의 원자가 스펙트럼에 뚫어 놓은 어두운 선에서 별의 구성 성분을 읽어 낸다. 둘 다 전자가 고정된 가로막대들 사이에서 떨어질 때 생기는 현상이다. 떨어질 때마다 정확히 그 가로막대 사이만큼의 에너지를 가진 광자 하나를 내보낸다.

흔한 오해

첫째는 어느 점프가 이기는가이다. 더 큰 낙차일수록 더 높은 에너지의 광자가 나온다. 위로 올라갈수록 가로막대들이 촘촘해지기 때문에, n = 1로 떨어지는 것(라이만 계열)은 n = 2로 떨어지는 것(발머 계열)보다 더 많이 방출한다. 둘째는 가로막대의 계산이다. 광자의 1/λ은 제곱의 역수를 빼는 것이어서, n = 2에서 n = 1로 가면 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4이 되고 1/λ = 3R/4를 얻는다. n값을 그냥 빼는 것이 아니다.

어떻게 연결되는가

에너지 양자화가 원자 단계로 온다. 광전 효과의 광자가 이제 원자가 어째서 날카로운 선을 내는지 설명해 준다. 하지만 보어의 가로막대는 가정된 것이지 설명된 것이 아니다. 다음 강의인 물질파가 그 이유를 공급한다(허용된 궤도는 정상파이다). 그래서 이 모형은 당시의 훌륭한 디딤돌로서 가르쳐지는 것이다.

시뮬레이션 해보기

• 발머 α (Hα) 선
• 라이먼 α 선
• 파셴 β 선

관련 개념

• 콤프톤 산란
• 방사성 붕괴와 반감기
• 드브로이 물질파
• 불확정성 원리
• 특수 상대성 이론: 시간 지연
• 핵 결합 에너지