방사성 붕괴와 반감기

불안정한 원자핵은 하나씩 무작위로 붕괴하며, 어느 단일 핵이 언제 붕괴할지 정확히 예측할 방법은 없다. 하지만 큰 시료에서 패턴은 완전히 예측 가능하여, 한 반감기 후 원래 핵의 정확히 절반이 남고, 그 후 매 반감기마다 남은 것의 절반이 붕괴한다.

공식

N = N₀ · (½)^(t/t½)

• N — 남은 양 (g): 시간 t에서 아직 남아 있는 물질의 양
• N₀ — 초기 양 (g): t = 0일 때 아주 처음에 있던 양
• t — 경과 시간 (s): 시작부터 경과한 시간
• t½ — 반감기 (s): 시료의 절반이 붕괴하는 데 걸리는 시간

풀이 예제

80 g의 방사성 동위원소 시료가 5일의 반감기를 가진다. 10일 후 얼마나 남습니까?

• N₀ = 80 g
• t½ = 5일

1. N = N₀ · (½)^(t/t½)
2. N = 80 g · (½)^(10/5) = 80 g · (½)²

N = 20 g

스스로 확인하기

어디서 볼 수 있나요

고고학자들은 탄소-14로 옛 나무와 뼈의 연대를 정한다. 반감기 5,730년 덕분에 사망한 뒤 그 농도가 꾸준히 떨어지고, 남은 것을 재면 달력을 읽듯 연대가 나온다. 병원은 같은 붕괴 법칙을, 몸속에서 빛나며 하루 안에 사라지는 짧은 수명의 추적 물질과 함께 쓴다.

흔한 오해

계산상 오류는 반감기마다 일정한 양을 빼는 것으로 여기는 것이다. 실제로는 절반을 곱하는 것이라, 반감기 세 번이면 8분의 1(½ × ½ × ½)이 남는다. 결코 0이 되지 않고, 1과 절반이 사라지는 일도 없다. 80 g 시료는 80 → 40 → 20 → 10 g으로 간다. 개념상 오류는 단일 핵이 이 법칙을 따르리라 기대하는 것이다. 어느 하나의 핵이든 무작위이고 알 수 없는 순간에 붕괴하며, 예측 가능해지는 것은 큰 시료뿐이다.

어떻게 연결되는가

붕괴는 원자핵으로 수행하는 확률이다. 열역학의 엔트로피와 같은 큰 수의 법칙 논리이며, 다음 강의에 물음을 건넨다. 어째서 어떤 핵은 불안정하고 다른 핵은 그렇지 않은가? 그 답인 결합 에너지는 상대성 이론의 c²을 다시 불러와 그 차이에 값을 매긴다.

시뮬레이션 해보기

• 탄소-14 붕괴
• Tc-99m 의료용 추적자

관련 개념

• 콤프톤 산란
• 보어 모델과 수소 스펙트럼
• 드브로이 물질파
• 불확정성 원리
• 특수 상대성 이론: 시간 지연
• 핵 결합 에너지