케플러의 법칙
케플러의 행성 운동 법칙
행성은 완벽한 원이 아니라, 태양이 중심이 아니라 한 초점에 있는 타원(늘어난 원)을 그린다. 태양에 가까워질수록 빨라지고 멀어질수록 느려지며, 같은 시간에 같은 넓이를 쓸어 지나간다. 궤도가 멀수록 1년은 더 길어지는데, 주기의 제곱은 궤도 크기의 세제곱에 비례하기 때문이다.
공식
T² = k · a³
- T — 주기 (yr): 행성이 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간
- a — 반장축 (AU): 태양으로부터의 평균 거리
- k — 비례 상수 (yr²/AU³): 이 단위계에서 태양을 도는 모든 것에 대해 1
풀이 예제
행성이 반장축 4 천문단위에서 태양을 돈다. 한 바퀴 도는 데 몇 년이 걸릴까?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8년
스스로 확인하기
다른 행성이 반장축 9 천문단위에서 돈다. 공전 주기는?
- 9년
- 81년
- 정답: 27년
맞았습니다! T² = a³ = 9³ = 729이고, 729의 제곱근은 27년입니다.
타원 궤도를 따라 행성은 어디에서 가장 빨리 움직입니까?
- 정답: 태양에 가장 가까운 곳
- 태양에서 가장 먼 곳
- 속도는 변하지 않는다
맞았습니다! '같은 시간에 같은 넓이'는 태양에 가장 가까운 곳에서 가장 빨라야 함을 의미합니다.
어디서 볼 수 있나요
태양계의 모든 행성, 행성 주위의 모든 달, 그리고 지구 주위의 모든 위성은 이 세 법칙을 따르는 타원을 그립니다 — 그들은 뉴턴이 중력이 정확히 이 행동을 왜 생성하는지 설명하기 수십 년 전에 화성의 육안 관측에서 발견되었습니다. 매우 늘어난 타원의 혜성은 두 번째 법칙을 가장 극적으로 보여주며, 태양 근처의 접근에서 회전하고 가장 먼 지점 근처를 기어갑니다.
흔한 오해
행성 궤도를 중앙에 태양이 있는 원으로 상상하기 쉽습니다 — 실제 궤도는 중심이 아닌 초점에 태양이 있는 타원이며, 이것이 행성에서 태양까지의 거리가 그 해 동안 실제로 변하는 이유입니다. 학생들은 또한 행성이 일정한 속도로 움직인다고 가정하기도 합니다 — 두 번째 법칙은 반대를 말합니다. 행성은 태양 근처에서 가속되고 멀리서 느려지며, 어느 쪽 방향이든 같은 시간에 같은 면적을 쓸어냅니다.
어떻게 연결되는가
케플러는 화성의 관측된 위치를 데이터에 맞추어 이 세 패턴을 발견했으며, 뉴턴이 그들이 모두 하나의 힘의 법칙에서 나온다는 것을 보여주는 수십 년 전에입니다. 만유 인력과 구심 운동을 결합합니다. 함께, 중력과 케플러의 법칙은 자유낙하에서 시작된 역학 수열을 닫습니다 — 떨어진 공을 설명하는 같은 한 줌의 아이디어(힘, 가속도, 에너지, 운동량)는 또한 전체 태양계를 설명합니다.