बोर मॉडेल व हायड्रोजन स्पेक्ट्रम
अणूतले इलेक्ट्रॉन फक्त ठराविक स्थिर ऊर्जा-स्तरांवरच राहू शकतात, शिडीच्या पायऱ्यांसारखे — दोन पायऱ्यांच्या मध्ये कधीच बसू शकत नाहीत. इलेक्ट्रॉन वरच्या पायरीवरून खालच्या पायरीवर उडी मारतो तेव्हा तो नेमक्या त्या ऊर्जा-फरकाची ऊर्जा घेऊन एक फोटॉन सोडतो, म्हणूनच हायड्रोजन एकसारख्या इंद्रधनुष्याऐवजी तीक्ष्ण, स्वतंत्र रंगांत चमकतो.
सूत्र
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — तरंगलांबी (m): इलेक्ट्रॉनाच्या उडीने सोडलेल्या प्रकाशाची तरंगलांबी
- R — रिडबर्ग स्थिरांक (1/m): हायड्रोजनच्या ऊर्जा-स्तरांचा पट्टा ठरवणारा एक स्थिर आकडा
- n₁ — खालचा स्तर (—): इलेक्ट्रॉन ज्या स्तरावर उतरतो, केंद्राला जवळचा
- n₂ — वरचा स्तर (—): इलेक्ट्रॉन जिथून सुरुवात करतो, केंद्रापासून दूरचा
सोडवलेले उदाहरण
हायड्रोजन अणूतला इलेक्ट्रॉन n = 3 स्तरावरून n = 2 स्तरावर खाली पडतो — बामर मालिकेची पहिली रेषा. रिडबर्ग स्थिरांक R च्या रूपात 1/λ काढा.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
स्वतःची चाचणी घ्या
कोणता फोटॉन जास्त ऊर्जा बाळगतो: n = 2 वरून n = 1 कडे पडणारा (लायमन), की n = 3 वरून n = 2 कडे पडणारा (बामर)?
- बरोबर उत्तर: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- दोघे समान ऊर्जा बाळगतात
बरोबर! n = 1 पर्यंत पूर्ण उडी म्हणजे n = 2 पर्यंतच्या उडीपेक्षा मोठा ऊर्जा-फरक, म्हणून लायमन फोटॉनाकडे जास्त ऊर्जा — म्हणूनच तो दिसणाऱ्या प्रकाशाऐवजी UV मध्ये उतरतो.
n = 2 ते n = 1 संक्रमणासाठी (लायमनची पहिली रेषा), R च्या रूपात 1/λ किती?
- R/4
- बरोबर उत्तर: 3R/4
- 3R/2
हो! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4, म्हणून 1/λ = 3R/4 — ही लायमन-अल्फा रेषा.
हे कुठे दिसते
हायड्रोजन डिस्चार्ज ट्यूब एकसारख्या इंद्रधनुष्याऐवजी ठराविक जांभळट-गुलाबी रंगात चमकतो, व खगोलशास्त्रज्ञ ताऱ्याची रचना त्याच्या वर्णपटात अणू उघडतात त्या गडद रेषांतून वाचतात. दोन्ही ठराविक पायऱ्यांदरम्यान उतरणाऱ्या इलेक्ट्रॉनांतून येतात: प्रत्येक उडी नेमक्या त्या पायरी-ते-पायरी ऊर्जेचा एक फोटॉन सोडते.
सामान्य चुका
आधी कोणती उडी जिंकते: मोठी पडणी म्हणजे जास्त ऊर्जेचा फोटॉन — n = 1 कडे उतरणे (लायमन मालिका) n = 2 कडे उतरण्यापेक्षा (बामर) जास्त देते, कारण वर चढताना पायऱ्या दाट होत जातात. मग पायऱ्यांचे अंकगणित: फोटॉनाच्या 1/λ मध्ये व्यस्त वर्ग वजा करायचे असतात, म्हणून n = 2 ते n = 1 साठी 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4, व 1/λ = 3R/4 मिळते — n चा साधा फरक नाही.
कसे जोडले जाते
ऊर्जा-पुंजीकरण आतोमपर्यंत जाते: प्रकाशविद्युत परिणामातले फोटॉन आत अणू तीक्ष्ण रेषा का सोडतात हे स्पष्ट करतात. पण बोरच्या पायऱ्या गृहीत धरल्या होत्या, स्पष्ट केल्या नव्हत्या — पुढील द्रव्य तरंग ते का असतात सांगतात (परवाना कक्षा म्हणजे स्थायी तरंग), म्हणूनच हे मॉडेल ते हुशार मधले पाऊल म्हणून शिकवले जाते.