Speciale relativiteit: Tijdsdilatatie
Tijdsdilatatie
Wanneer iets zich vlak bij de lichtsnelheid beweegt, verstrijkt voor hem de tijd langzamer vergeleken met iemand die van buiten toekijkt. Het is geen truc van de klok — de tijd zelf rekt echt uit, en bewegende objecten krimpen langs hun bewegingsrichting met precies dezelfde factor.
De formule
Δt = γ · Δt₀ , γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- Δt — gedilateerde tijd (s): het tijdsinterval gemeten door een waarnemer die de klok voorbij ziet komen
- Δt₀ — eigentijd (s): het tijdsinterval gemeten door iemand die met de klok meebeweegt
- v — relatieve snelheid (m/s): hoe snel de klok beweegt ten opzichte van de waarnemer
- c — lichtsnelheid (m/s): de universele snelheidslimiet, ongeveer 3 × 10⁸ meter per seconde
- γ — Lorentzfactor (none): hoeveel de tijd uitrekt en de lengte krimpt bij die snelheid
Uitgewerkt voorbeeld
Een ruimteschip scheert met 0.8 keer de lichtsnelheid langs de aarde. Een hartslag van een astronaut duurt 3 seconden op haar eigen klok. Hoe lang duurt die hartslag volgens een waarnemer op aarde?
- v = 0.8 c
- Δt₀ = 3 s
- γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 5/3
- Δt = γ · Δt₀ = (5/3) · 3 s
Δt = 5 s
Test jezelf
De hartslag van de astronaut duurt nu 6 seconden op haar eigen klok, nog steeds bij 0.8c. Hoe lang meet de waarnemer op aarde dat hij duurt?
- 8 s
- Juiste antwoord: 10 s
- 3.6 s
Goed! Gamma is nog steeds vijf derde, dus 6 s keer vijf derde is 10 s.
Nu reist het schip met 0.6 keer de lichtsnelheid en de eigentijd is 4 seconden. Wat meet de waarnemer op aarde?
- 3.2 s
- 4.6 s
- Juiste antwoord: 5 s
Exact! Bij 0.6c is gamma 1.25, dus 4 s keer 1.25 is 5 s.
Waar je dit ziet
Gps-satellieten dragen klokken mee die aantoonbaar afwijken van klokken op de grond, en het systeem corrigeert daar elke dag voor — de zwakkere zwaartekracht op hoogte laat de satellietklokken sneller lopen, iets meer dan hun baansnelheid hen vertraagt. Muonen uit kosmische straling, geboren in de bovenste atmosfeer, zouden allang vervallen moeten zijn voordat ze de grond bereiken, maar komen massaal aan: hun interne klok loopt langzaam bij bijna-lichtsnelheid.
Veelgemaakte fouten
De terugkerende misser is welke tijd groeit: de gedilateerde tijd gemeten door de buitenstaande waarnemer is ALTIJD langer dan de eigen tijd op de klok van de bewegende zelf — je vermenigvuldigt met gamma, je deelt nooit. Bij 0.8c is gamma 5/3, dus een hartslag van 6 seconden op het schip duurt 10 s op Aarde; bij 0.6c is gamma 1.25, en 4 s eigen tijd wordt 5 s. Dezelfde factor laat lengtes langs de bewegingsrichting krimpen.
Hoe het verband houdt
Dit opent relativiteit, de tweede pijler van de moderne natuurkunde naast de kwantumlessen: geen fotonen, geen sporten, alleen de constantie van de lichtsnelheid die ruimte en tijd dwingt zich eromheen te buigen. Zijn beroemdste bijproduct, E = Δm · c², arriveert aan het einde van de module bij nucleaire bindingsenergie.