Orbity eliptyczne: energia, prędkość ucieczki i mimośród
1 · Prognoza
Satelitę wystrzelono bokiem z promienia r wokół masy centralnej, z prędkością poniżej orbitalnej kołowej. Czy wyznacza zamkniętą elipsę, utrzymuje idealny okrąg, czy odlatuje i nigdy nie wraca?
- Osiada na zamkniętej, wydłużonej elipsie i wraca co okrążenie.
- Utrzymuje idealny okrąg na promieniu wystrzału.
- Ucieka od masy centralnej i nigdy nie wraca.
2 · Przygotowanie
- Otwórz symulację orbity eliptycznej i naciśnij Reset. Masa centralna siedzi w środku sceny z parametrem grawitacyjnym GM = 40 m³/s².
- Włącz sondy energii i mimośrodu na satelicie, aby obie wielkości niezmiennicze były pokazane na żywo.
- Dla każdej próby poniżej umieść satelitę na promieniu r na osi x, nadaj mu czysto boczną (styczną) prędkość wystrzału v, naciśnij Play i pozwól zakończyć co najmniej jedno okrążenie przed zapisaniem ustabilizowanych odczytów.
3 · Zbieranie danych
| Parametr grawitacyjny GM (m³/s²) | Promień wystrzału r (m) | Styczna prędkość wystrzału v (m/s) | Prędkość ucieczki v_esc (m/s) | Energia orbitalna właściwa ε (J/kg) | Mimośród e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Narysuj zmierzony mimośród e (oś y) względem energii orbitalnej właściwej ε (oś x). Gdy ε zbliża się do zera, co dzieje się z kształtem orbity?
4 · Analiza
- Oblicz właściwą energię orbitalną ε = v²/2 − GM/r dla każdego wiersza i potwierdź znak. Co ujemne ε mówi o tym, czy satelita jest związany z masą centralną?
- Porównaj każdą prędkość startową v z obliczoną przez siebie prędkością ucieczki v_esc. Start jest styczny, więc h = r·v; pokaż, że e = √(1 + 2εh²/GM²) odtwarza mimośród odczytany z symulacji, i wyjaśnij, dlaczego start bliżej prędkości ucieczki daje bardziej wydłużoną elipsę.
5 · Rozszerzenie
- Przy jakiej prędkości stycznej z każdego promienia startu elipsa zamieniłaby się w idealny okrąg? (Wskazówka: v_circ = √(GM/r).) Czy prędkość startowa z twojej tabeli jest powyżej czy poniżej tej wartości i jak wyjaśnia to kształt orbity?
- Komety o długich okresach mają mimośrody bliskie 1. Co to mówi o ich prędkości w największym zbliżeniu względem miejscowej prędkości ucieczki — i dlaczego nie uciekają całkiem od Słońca?
Fizyka tego eksperymentu
Prędkość ucieczki
Minimalna prędkość styczna przy promieniu r, która pozwoliłaby satelicie uciec od masy centralnej. Wystrzał poniżej tej prędkości utrzymuje ε ujemne, a orbitę związaną — elipsę zamiast toru niezwiazanego.
Prędkość orbitalna kołowa
Prędkość styczna dająca idealny okrąg przy promieniu r. Wolniejszy wystrzał (jak w każdej próbie tutaj) zbija satelitę do wewnątrz po puszczeniu, wyznaczając elipsę z punktem wystrzału jako dalekim apocentrum.