Trzecie prawo Keplera: okres orbitalny a promień
1 · Prognoza
Satelita krąży wokół masy centralnej po stabilnej orbicie kołowej. Gdy przeniesiesz go na większy promień orbity, jak zmieni się czas pełnego obrotu?
- Większa orbita trwa dłużej na okrążenie.
- Okres pozostaje ten sam przy każdym promieniu.
- Większa orbita trwa krócej na okrążenie.
2 · Przygotowanie
- Otwórz preset trzeciego prawa Keplera. Satelita krąży wokół masy centralnej; timer orbity i sonda okresu są już podpięte.
- Ustaw promień orbity satelity r, a potem wystrzel go bokiem z kołową prędkością orbitalną pokazaną na karcie wzoru v = √(GM/r), by orbita pozostała kołowa.
- Pozwól satelicie wykonać co najmniej jedną pełną pętlę i odczytaj okres orbitalny T z timera, gdy orbita się ustabilizuje.
3 · Zbieranie danych
| Promień orbity r (m) | Prędkość kołowa v (m/s) | Zmierzony okres T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Narysuj T² (oś pionowa) względem r³ (oś pozioma) dla trzech orbit. Poprowadź najlepiej dopasowaną prostą przez początek układu i znajdź jej nachylenie.
4 · Analiza
- Dla każdego wiersza oblicz T²/r³. Czy trzy wartości są z grubsza równe? Porównaj ich średnią z 4π²/GM przy GM = 40 (wtedy 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- Twoja prosta T² względem r³ powinna przechodzić przez początek układu. Wyjaśnij, dlaczego ta prosta przez początek to dokładnie to, co przewiduje T² = (4π²/GM)·r³, i co oznacza nachylenie.
5 · Rozszerzenie
- Prawdziwe planety podlegają temu samemu prawu: Merkury (mała orbita) obiega Słońce w 88 dni, a Neptun (duża orbita) potrzebuje 165 lat. Użyj T²/r³ = const, by wyjaśnić tę ogromną różnicę.
- Stała Keplera wynosi tu 4π²/GM, więc zależy od masy centralnej, nie od satelity. Przewidz, co stanie się z okresem każdej orbity, gdyby GM ciała centralnego się podwoiło.
Fizyka tego eksperymentu
Trzecie prawo Keplera
Dla dowolnej orbity wokół danej masy centralnej kwadrat okresu jest proporcjonalny do sześcianu średniego promienia: T²/r³ = 4π²/GM. Stosunek jest ten sam dla każdej orbity, więc zmierzenie czasu jednej orbity przy znanym promieniu ujawnia GM.
Prędkość orbitalna kołowa
Ciało na orbicie kołowej o promieniu r musi poruszać się z v = √(GM/r): taką prędkość, przy której grawitacja dostarcza dokładnie potrzebną siłę dośrodkową. Start z tą prędkością utrzymuje orbitę kołową, a nie eliptyczną.