Елиптични орбити: енергия, скорост на освобождаване и ексцентрицитет

1 · Предскажи

Спътник е изстрелян странично на радиус r около централна маса, със скорост под скоростта за кръгова орбита. Очертава ли затворена елипса, държи ли съвършена окръжност или отлита и никога не се връща?

2 · Постановка

  1. Отвори симулацията елиптична орбита и натисни Нулирай. Централната маса седи в средата на сцената с гравитационен параметър GM = 40 m³/s².
  2. Включи сензорите за енергия и ексцентрицитет на спътника, така че и двата инварианта да се показват на живо.
  3. За всеки опит долу постави спътника на радиус r по оста x, дай му чисто странична (тангенциална) начална скорост v, натисни Пусни и остави да направи поне една пълна орбита, преди да запишеш установените показания.

3 · Събери данни

Гравитационен параметър GM (m³/s²)Радиус на изстрелване r (m)Тангенциална скорост на изстрелване v (m/s)Скорост на освобождаване v_esc (m/s)Специфична орбитална енергия ε (J/kg)Ексцентрицитет e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Чертай измерения ексцентрицитет e (ос y) спрямо специфичната орбитална енергия ε (ос x). Когато ε пълзи към нула, какво става с формата на орбитата?

4 · Анализирай

  1. Изчисли специфичната орбитална енергия ε = v²/2 − GM/r за всеки ред и потвърди знака. Какво ти казва отрицателно ε за това дали спътникът е свързан с централната маса?
  2. Сравни всяка скорост на изстрелване v с изчислената от теб скорост на освобождаване v_esc. Изстрелването е тангенциално, така че h = r·v; покажи, че e = √(1 + 2εh²/GM²) възпроизвежда ексцентрицитета, прочетен от симулацията, и обясни защо изстрелване по-близо до скоростта на освобождаване дава по-разтеглена елипса.

5 · Надгради

  1. За всеки радиус на изстрелване каква тангенциална скорост би превърнала елипсата в съвършена окръжност? (Съвет: v_circ = √(GM/r).) Скоростта на изстрелване в таблицата ти е над или под тази стойност и как това обяснява формата на орбитата?
  2. Дългопериодичните комети имат ексцентрицитети близо до 1. Какво предполага това за скоростта им при най-близкото приближаване спрямо местната скорост на освобождаване — и защо те не съвсем се освобождават от Слънцето?

Физиката зад този експеримент

Скорост на освобождаване

Минималната тангенциална скорост на радиус r, която би позволила на спътника да се освободи от централната маса. Изстрелване под тази скорост държи ε отрицателно и орбитата свързана — елипса, а не несвързана траектория.

Кръгова орбитална скорост

Тангенциалната скорост, която произвежда съвършена окръжност на радиус r. Изстрелване по-бавно от това (както във всеки опит тук) изпуска спътника навътре след пускането, очертавайки елипса с точката на изстрелване като най-далечния ѝ апоапсис.

← Назад към експеримента

Механика

138 безплатни работни листа по физика за печат