مدل بور و طیف هیدروژن
الکترون‌های اتم فقط می‌توانند ترازهای انرژی مشخص و ثابتی بگیرند، مثل پله‌های نردبان — هرگز میانشان نمی‌نشینند. وقتی الکترون از پلهٔ بالاتر به پایین‌تر می‌پرد، فوتونی تک می‌گسلد که دقیقاً همان اختلاف انرژی را دارد؛ به همین دلیل هیدروژن در رنگ‌های تیز و مجزا می‌درخشد، نه رنگین‌کمانی هموار.
فرمول
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — طول موج (m): طول موج نوری که پرش الکترون می‌دهد
- R — ثابت ریدبرگ (1/m): ثابتی مقدر که مقیاس ترازهای انرژی هیدروژن را تعیین می‌کند
- n₁ — تراز پایین‌تر (—): تراز انرژی‌ای که الکترون روی آن فرود می‌آید، نزدیک‌تر به هسته
- n₂ — تراز بالاتر (—): تراز انرژی‌ای که الکترون از آن شروع می‌کند، دورتر از هسته
مثال حل‌شده
الکترونی در اتم هیدروژن از تراز انرژی n = 3 به تراز n = 2 می‌افتد — نخستین خط سری بالمر. 1/λ را برحسب ثابت ریدبرگ R بیابید.
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
خودتان را بیازمایید
کدام فوتون انرژی بیشتری دارد: الکترونی که از n = 2 به n = 1 می‌افتد (لیمان)، یا از n = 3 به n = 2 (بالمر)؟
- پاسخ درست: Lyman (n = 2 → 1)
- Balmer (n = 3 → 2)
- هر دو همان انرژی را حمل می‌کنند
درست است! افتادن تا n = 1 جهشی بزرگ‌تر از افتادن به n = 2 است، پس فوتون لیمان انرژی بیشتری دارد — به همین دلیل در فرابنفش می‌افتد نه نور مرئی.
برای گذار n = 2 به n = 1 (نخستین خط لیمان)، 1/λ برحسب R چیست؟
- R/4
- پاسخ درست: 3R/4
- 3R/2
درست است! 1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4، پس 1/λ = 3R/4 — این خط لیمان-آلفاست.
کجا آن را می‌بینید
لولهٔ تخلیه هیدروژن به جای رنگین‌کمانی هموار، یک صورتی‌یاسی خاص می‌درخشد، و ستاره‌شناسان ترکیب ستاره را از خط‌های تاریکی می‌خوانند که اتم‌هایش در طیف آن می‌کوبند. هر دو از پایین‌پریدن الکترون‌ها میان پله‌های ثابت ناشی می‌شوند: هر افت، دقیقاً یک فوتون با همان انرژی میان دو پله گسیل می‌کند.
اشتباهات رایج
نخست، اینکه کدام پرش برنده است: افت بزرگ‌تر فوتون پرانرژی‌تری آزاد می‌کند — گسیلِ افت به n = 1 (سری لیمان) از گسیلِ افت به n = 2 (بالمر) پرانرژی‌تر است، چون پله‌ها هر چه بالاتر می‌روید به هم فشرده‌تر می‌شوند. بعد نوبت حساب پله‌هاست: در 1/λ فوتون، مربع‌های معکوس از هم کم می‌شوند، پس برای n = 2 به n = 1 می‌شود 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4، که نتیجه‌اش 1/λ = 3R/4 است — نه تفاضل سادهٔ مقدارهای n.
چگونه ارتباط دارد
کوانتیده‌شدن انرژی به مقیاس اتمی می‌رسد: فوتون‌های اثر فوتوالکتریک حالا توضیح می‌دهند که اتم‌ها اصلاً چرا خط‌های تیز گسیل می‌کنند. اما پله‌های بور فرض شده بودند، نه توضیح داده شده — موج‌های ماده، در درس بعد، «چرا» را فراهم می‌کنند (مدارهای مجاز، موج‌های ایستاده‌اند)، و به همین دلیل این مدل را به‌عنوان سنگ‌پله درخشانی که بود تدریس می‌کنند.