واپاشی پرتوزا و نیمه‌عمر
هسته‌های اتمی ناپایدار یکی‌یکی، به‌تصادف می‌شکنند و راهی برای پیش‌بینی لحظهٔ واپاشی هیچ هستهٔ تک‌موردی نیست. اما در نمونهٔ بزرگ، الگو کاملاً قابل پیش‌بینی است: پس از یک نیمه‌عمر دقیقاً نصف هسته‌های اصلی مانده‌اند و پس از هر نیمه‌عمر بعدی، نصفِ مانده واپاشی می‌رود.
فرمول
N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N — مقدار باقی‌مانده (g): مقدار ماده‌ای که در زمان t هنوز مانده است
- N₀ — مقدار اولیه (g): مقدار موجود در همان آغاز، وقتی t صفر است
- t — زمان سپری‌شده (s): چه مقدار زمان از آغاز گذشته است
- t½ — نیمه‌عمر (s): زمانی که نصف نمونه در آن واپاشی می‌کند
مثال حل‌شده
نمونهٔ 80 گرمی از یک همسان پرتوزا نیمه‌عمر 5 روزه دارد. بعد از 10 روز چقدر می‌ماند؟
- N₀ = 80 g
- t½ = 5 روز
- N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N = 80 g · (½)^(10/5) = 80 g · (½)²
N = 20 g
خودتان را بیازمایید
همان نمونهٔ 80 گرمی به واپاشی ادامه می‌دهد. بعد از 15 روز چقدر می‌ماند؟
- 40 g
- پاسخ درست: 10 g
- 26.7 g
درست! سه نیمه‌عمر: 80 گرم ← 40 گرم ← 20 گرم ← 10 گرم.
بعد از 3 نیمه‌عمر، چه کسری از نمونهٔ اولیه مانده است؟
- پاسخ درست: 1/8
- 1/3
- 1/6
درست! یک‌دوم ضربدر یک‌دوم ضربدر یک‌دوم، یک‌هشتم می‌شود.
کجا آن را می‌بینید
باستان‌شناسان چوب و استخوان‌های کهن را با کربن-14 سن‌سنجی می‌کنند؛ نیمه‌عمر 5730 سالهٔ آن پس از مرگ، غلظتش را پیوسته پایین می‌آورد — اندازه‌گیریِ آنچه مانده، تقویم را می‌خواند. بیمارستان‌ها از همان قانون واپاشی با ردیاب‌های کوتاه‌عمر استفاده می‌کنند که در سراسر بدن می‌درخشند و ظرف یک روز محو می‌شوند.
اشتباهات رایج
خطای حسابی، دیدنِ هر نیمه‌عمر به‌عنوان کم‌کردن مقداری ثابت است — در یک‌دوم ضرب می‌کند، پس سه نیمه‌عمر یک‌هشتم به جا می‌گذارد (½ × ½ × ½)؛ هرگز صفر نمی‌شود و هرگز سه‌دوم از دست نمی‌رود: نمونهٔ 80 g می‌رود 80 → 40 → 20 → 10 g. خطای مفهومی، انتظارِ پیروی هسته‌های تکی از قانون است — هر هستهٔ مفرد در لحظه‌ای تصادفی و غیرقابل دانستن واپاشی می‌کند؛ فقط نمونه‌های بزرگ قابل پیش‌بینی می‌شوند.
چگونه ارتباط دارد
واپاشی، احتمال‌سازی با هسته‌هاست — همان منطق قانون اعداد بزرگ در آنتروپی ترمودینامیک — و پرسش درس بعد را تحویل می‌دهد: چرا بعضی هسته‌ها ناپایدارند و بعضی نه؟ پاسخ، یعنی انرژی بستگی، c² نسبیت را هم برمی‌گرداند تا تفاوت را قیمت‌گذاری کند.