موجهای مادهٔ دوبروی
لویی دوبروی پیشنهاد کرد که هر جسم متحرکی طول موج دارد، نه فقط نور. جسم تند و سنگین طول موجی به‌طرز باورنکردنی کوچک دارد، اما ذرهٔ سبک و کندی مانند الکترون طول موجی بزرگی دارد که باعث می‌شود مانند موجی که از بلور می‌گذرد، پراش پیدا کند — خم شود و تداخل کند.
فرمول
λ = h / p
- λ — طول موج (m): طول موج مادهٔ همراه جسم متحرک
- h — ثابت پلانک (J·s): عدد ثابت بسیار کوچکی، حدود 6.63 × 10⁻³⁴ ژول‌ثانیه
- p — تکانه (kg·m/s): جرم ضربدر سرعت — میزان حرکتی که جسم با خود دارد
مثال حل‌شده
تکانهٔ الکترونی 6.63 ضربدر ده به توان منفی بیست‌وچهار کیلوگرم‌متر بر ثانیه است. طول موج دوبروی آن چند است؟
- h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s
- p = 6.63 × 10⁻²⁴ kg·m/s
- λ = h / p
- λ = (6.63 × 10⁻³⁴ J·s) / (6.63 × 10⁻²⁴ kg·m/s)
λ = 1 × 10⁻¹⁰ m
خودتان را بیازمایید
اگر تکانهٔ الکترون به 1.326 × 10⁻²³ کیلوگرم‌متر بر ثانیه دو برابر شود، طول موجش چه می‌شود؟
- پاسخ درست: نصف می‌شود به 5 × 10⁻¹¹ m
- دو برابر می‌شود به 2 × 10⁻¹⁰ m
- همان 1 × 10⁻¹⁰ m می‌ماند
درست است! طول موج و تکانه معکوس هم هستند: λ = h / p = (6.63 × 10⁻³⁴) / (1.326 × 10⁻²³) = 5 × 10⁻¹¹ m.
توپ پرتاب‌شدهٔ بیسبال هم طول موج دوبروی دارد. چرا هرگز نمی‌بینیم مثل الکترون پراش بگیرد؟
- توپ بیسبال اصلاً طول موج ندارد
- پاسخ درست: طول موجش برای آشکارسازی بسیار کوچک است
- توپ‌های بیسبال برای داشتن تکانه خیلی کندند
دقیقاً — تکانهٔ عظیم توپ بیسبال، h تقسیم بر p را غیرقابل‌تصور ریز می‌کند؛ بسیار کوچک‌تر از هر چیزی که پیرامونش پراش بگیرد.
کجا آن را می‌بینید
میکروسکوپ الکترونی ویروس‌ها و ساختارهای پروتئینی‌ای را می‌بیند که هیچ میکروسکوپ نوری‌ای نمی‌تواند آن‌ها را تفکیک کند، و دقیقاً به یک دلیل: الکترون‌های شتاب‌گرفته طول موجی هزاران بار کوتاه‌تر از نور مرئی حمل می‌کنند، و طول موج است که قدرت تفکیک را تعیین می‌کند. این دستگاه یعنی λ = h / p روی میز آزمایشگاه.
اشتباهات رایج
دام مقیاس‌بندی: تکانه در پایین کسر می‌نشیند، پس دو برابر کردن تکانهٔ الکترون طول موجش را نصف می‌کند (طول موج الکترونِ درس به 5 × 10⁻¹¹ m پایین می‌آید) — تندتر یعنی کوچک‌تر، نه بزرگ‌تر. خطای دوم، مخصوص‌کردن موج‌ها به چیزهای ریز است: توپ بیسبال پرتاب‌شده هم طبق دقیقاً همان قانون طول موج دارد؛ فقط تکانه‌اش چنان عظیم است که طول موجش به‌طرزی غیرقابل مشاهده کوچک می‌شود.
چگونه ارتباط دارد
قلب‌کردن دوبروی، دوگانگی‌ای را کامل می‌کند که در اثر فوتوالکتریک و پراکندگی کامپتون آغاز شده بود: موج ذره است، پس ذره هم موج است — و پله‌های اسرارآمیز بور ناگهان به‌عنوان موجهای ایستادهٔ الکترونی دور اتم معنا پیدا می‌کنند. اصل عدم قطعیت، در درس بعد، برچسب قیمتِ چسبیده به همین ماهیت موجی است.