力学
面積速度一定
M から軌跡への扇形が等時間で等面積を掃きます。
面積速度一定 — インタラクティブな力学シミュレーション。M から軌跡への扇形が等時間で等面積を掃きます。 ブラウザで使える無料の仮想物理実験室。SI 単位のライブ測定とガイド付きチュートリアルを備えています。
ケプラー第二法則
中心質量から衛星への線分は、等しい時間に等しい面積を掃きます — 衛星は近づくほど速く動きます。
角運動量保存により、近点付近で軌道速度が増す理由が説明されます。このプリセットでは、ステージ上の陰影楔形が等面積掃過を示します。
- dA/dt = 一定
- L = mvr sin θ = 一定
捜査概要
ラボを開く前に質問を計画する
このブリーフは事前レンダリングされたページを反映しています。探究の問い、競合する予測、変数の役割、支配する法則、設定、分析と発展の問いを、この順序で表示します。
運転に関する質問
楕円軌道上の衛星を近日点（最接近点）で横向きに発射する。遠日点へ進んで戻る間、中心質量と衛星を結ぶ線が掃く面積は、近日点付近で速いか、遠日点付近で速いか、それとも全体で同じ割合か？
検討する予測
- 衛星が最も速く動く近日点付近で、半径線は最も速く面積を掃く。
- 半径線は等しい時間に等しい面積を掃く — 軌道上のどこでも同じ割合である。
- 衛星が最も移動できる遠日点付近で、半径線は最も速く面積を掃く。
可変的な役割
設定するもの：
- 近日点半径 r_p (m)
- 遠日点半径 r_a (m)
測定するもの：
- 近日点での脱出速度 v_esc (m/s)
- 比角運動量 h (m²/s)
実験の進め方
- equal-areas シミュレーションを開き、「リセット」を押す。中心質量はステージ中央にあり、重力パラメータは GM = 40 m³/s²。陰影付きの扇形は衛星の半径線が掃く面積を示す。
- 衛星の比角運動量プローブ（h）と離心率プローブ（e）を有効にし、両方の不変量をライブ表示する。
- 各試行について近日点半径 r_p と遠日点半径 r_a を設定し、衛星を近日点から完全に横向き（接線方向）の速度で発射する。「再生」を押し、少なくとも1周してから落ち着いた h の表示を記録する。
支配方程式
脱出速度 — v_esc = √(2GM / r)
半径 r で衛星が中心質量の束縛を抜けるために必要な最小速度。実際の近日点速度はこの値より低いため、軌道は束縛されたまま、等しい時間に等しい面積を掃く閉じた楕円となる。
円軌道の速度 — v = √(GM / r)
半径 r で完全な円を作る接線方向速度。ここでの楕円試行のように近日点でこれより速く発射すると、衛星は重力に引き戻される前に外側の遠日点へ向かう。
印刷用ワークシートで生徒が求めるもの
- 一つの軌道で、近日点と遠日点で h の表示を記録する。読み取り誤差の範囲で一致するはずである。h = r·v を使い、h を一定に保つため r が大きい遠日点では遅く、r が小さい近日点では速く動かなければならない理由を説明する。
- 単位時間当たりに掃く面積は dA/dt = h/2 である。h は一定なので、等しい時間に等しい面積を掃く。最初の軌道で測定した h を用いて dA/dt を計算し、h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) がシミュレーションの値を再現することを確認する。
- 衛星の近日点速度（v_p = h/r_p）を各行で計算した脱出速度 v_esc と比較する。v_p は v_esc より上か下か？それは軌道が束縛されたままかどうかについて何を示すか？
実験以外での活用
- ハレー彗星は数か月で太陽のそばを通過するが、外側の太陽系から戻るまで数十年かかる。面積速度の法則を使い、彗星が太陽の近くで軌道のごく一部しか過ごさず、遠くで多くを過ごす理由を説明する。
- 比角運動量 h = r·v には質量の項がない。衛星の質量を2倍にして同じように発射すると、測定した h は変わるか？全角運動量 L = m·r·v は変わるか？違いを説明する。
- AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
- IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
- IB Physics — D.1 Gravitational fields
- General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
- NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces
- 面積速度一定へようこそ
- 衛星を選択
- 再生
- 等面積
- データを開く
- 完了です！
インタラクティブなシミュレーションを開いてシーンを構築し、再生ボタンを押し、リアルタイム測定とガイド付きチュートリアルで探索しましょう。