Релятивистские электроны: когда классический импульс подводит
1 · Прогноз
Электрон с 400 кэВ движется достаточно быстро, чтобы релятивистские эффекты стали значимы (β ≈ 0.83). Даёт ли простая нерелятивистская формула де Бройля λ = h/√(2mK) точную длину волны при этой энергии?
- Да — нерелятивистская формула по-прежнему прекрасно работает при любой энергии электрона.
- Нет — при этой энергии импульс электрона нужно вычислять релятивистски; нерелятивистская формула заметно ошибалась бы.
- Вычисления длины волны вообще не зависят от релятивистских эффектов.
2 · Подготовка
- Откройте пресет electron-ke-comparison и нажмите «Сброс». Кинетическая энергия по умолчанию — 400 keV, что даёт β ≈ 0.83.
- Включите показание длины волны де Бройля.
- Задайте кинетическую энергию электрона для каждой пробы (все в релятивистском режиме) и запишите его длину волны де Бройля по релятивистской формуле импульса.
3 · Сбор данных
| Кинетическая энергия K (eV) | Длина волны де Бройля λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
Постройте длину волны λ (ось y) против кинетической энергии K (ось x) для трёх проб.
4 · Анализ
- Для одной пробы вычислите релятивистский импульс через pc = √(K(K + 2m_ec²)) (при m_ec² ≈ 511 кэВ — энергии покоя электрона), затем λ = hc/(pc) — аккуратно переводя единицы. Сравните с таблицей.
- Объясните, почему релятивистская формула импульса pc = √(K(K + 2mc²)) переходит в привычную нерелятивистскую p = √(2mK), когда K много меньше энергии покоя mc², — и почему это приближение ломается, когда K становится сравнимым с mc² или больше.
5 · Развитие
- Энергия покоя электрона m_ec² ≈ 511 keV. При кинетической энергии 400 keV полная энергия электрона уже примерно на 78% больше энергии покоя — уверенно релятивистский режим. Объясните, почему у физиков есть правило большого пальца: релятивистские поправки важны, когда кинетическая энергия приближается к ~10% энергии покоя.
- Ускорители частиц регулярно достигают кинетических энергий, многократно превышающих энергию покоя частицы (ультрарелятивистский режим). Объясните, почему в этом пределе pc ≈ K (импульс-энергия и кинетическая энергия почти равны), хотя на бытовых нерелятивистских скоростях это явно не так.
Физика этого эксперимента
Релятивистская связь импульса и энергии
У релятивистской частицы импульс и кинетическая энергия связаны соотношением (pc)² = K(K + 2mc²), выведенным из полной релятивистской связи энергии и импульса E² = (pc)² + (mc²)². К привычной нерелятивистской p = √(2mK) оно сводится только при K ≪ mc².