Эллиптические орбиты: энергия, вторая космическая и эксцентриситет
1 · Прогноз
Спутник запускают боком на радиусе r около центральной массы со скоростью ниже круговой орбитальной. Опишет ли он замкнутый эллипс, удержит идеальную окружность или улетит и не вернётся?
- Он выходит на замкнутый вытянутый эллипс и возвращается каждый оборот.
- Он удерживает идеальную окружность на радиусе запуска.
- Он убегает от центральной массы и не возвращается.
2 · Подготовка
- Откройте симуляцию эллиптической орбиты и нажмите «Сброс». Центральная масса находится в центре сцены с гравитационным параметром GM = 40 м³/с².
- Включите датчики энергии и эксцентриситета на спутнике, чтобы оба инварианта показывались вживую.
- Для каждой пробы ниже поместите спутник на радиус r по оси x, дайте ему чисто боковую (касательную) скорость запуска v, нажмите Play и дайте ему завершить хотя бы один оборот до записи установившихся показаний.
3 · Сбор данных
| Гравитационный параметр GM (m³/s²) | Радиус запуска r (m) | Касательная скорость запуска v (m/s) | Вторая космическая v_esc (m/s) | Удельная орбитальная энергия ε (J/kg) | Эксцентриситет e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Постройте измеренный эксцентриситет e (ось y) против удельной орбитальной энергии ε (ось x). Что происходит с формой орбиты по мере приближения ε к нулю?
4 · Анализ
- Вычислите удельную орбитальную энергию ε = v²/2 − GM/r для каждой строки и проверьте знак. Что отрицательное ε говорит о связанности спутника с центральной массой?
- Сравните каждую стартовую скорость v с вычисленной вами скоростью убегания v_esc. Запуск тангенциальный, поэтому h = r·v; покажите, что e = √(1 + 2εh²/GM²) воспроизводит эксцентриситет, считанный с симуляции, и объясните, почему запуск ближе к скорости убегания даёт более вытянутый эллипс.
5 · Развитие
- При каком касательном старте с каждым радиусом запуска эллипс превратился бы в точную окружность? (Подсказка: v_circ = √(GM/r).) Выше или ниже этого значения стартовая скорость вашей таблицы, и как это объясняет форму орбиты?
- У долгопериодических комет эксцентриситеты близки к 1. Что это говорит об их скорости в ближайшей точке относительно местной второй космической — и почему они всё же не убегают от Солнца?
Физика этого эксперимента
Вторая космическая скорость
Минимальная касательная скорость на радиусе r, позволившая бы спутнику убежать от центральной массы. Запуск ниже неё оставляет ε отрицательным, а орбиту связанной — эллипс, а не несвязанная траектория.
Круговая орбитальная скорость
Касательная скорость, дающая идеальную окружность на радиусе r. Запуск медленнее неё (как в каждой пробе здесь) бросает спутник внутрь после отпускания, образуя эллипс с точкой запуска как дальним апоцентром.