Механіка

Рівні площі за рівні часи

Затінені клини від M до сліду описують рівні площі за рівні проміжки часу.

Рівні площі за рівні часи — інтерактивне моделювання: Механіка. Затінені клини від M до сліду описують рівні площі за рівні проміжки часу. Безкоштовна браузерна віртуальна фізична лабораторія з живими вимірюваннями в СІ та керованим заняттям.

Другий закон Кеплера

Лінія від центральної маси до супутника описує рівні площі за рівні часи — супутник рухається швидше, коли ближче.

Збереження моменту імпульсу пояснює, чому орбітальна швидкість зростає біля периапсису. Рівні площі видно як затінені клини на полотні цього пресета.

• dA/dt = константа
• L = mvr sin θ = константа

Короткий опис дослідження

Сплануйте запитання, перш ніж відкрити лабораторію

Короткий відповідає передрендереній сторінці: рушійне запитання, конкуруючі прогнози, ролі змінних, керівні закони, установка, аналіз і підсилення лишаються видимими та в цьому порядку.

Рушійне запитання

Супутник на еліптичній орбіті запущено боком у перигелії (найближча точка). Коли він дрейфує до афелію й назад, чи лінія, що з'єднує його з центральною масою, описує площу швидше біля перигелію, швидше біля афелію чи з однаковою швидкістю всюди?

Прогнози для зважування

• Радіус-лінія описує площу найшвидше біля перигелію, де супутник рухається найшвидше.
• Радіус-лінія описує рівні площі за рівні часи — та сама швидкість всюди на орбіті.
• Радіус-лінія описує площу найшвидше біля афелію, де в супутника найбільше місця для руху.

Ролі змінних

Що ви задаєте:

• Радіус перигелію r_p (m)
• Радіус афелію r_a (m)

Що ви вимірюєте:

• Друга космічна в перигелії v_esc (m/s)
• Питомий момент імпульсу h (m²/s)

Як проходить дослідження

1. Відкрийте моделювання рівних площ і натисніть «Скинути». Центральна маса стоїть посередині сцени з гравітаційним параметром GM = 40 м³/с², а затінені сектори-клини креслять площу, яку описує радіус-лінія супутника.
2. Увімкніть датчик питомого моменту імпульсу (h) та датчик ексцентриситета (e) на супутнику, щоб обидві інваріанти показувалися наживо.
3. Для кожного заміру нижче задайте радіус перигелію r_p та радіус афелію r_a, запустіть супутник із перигелію з чисто бічною (дотичною) швидкістю, натисніть «Запустити» і дайте йому завершити щонайменше одну повну орбіту перед записом усталеного значення h.

Керівне рівняння

Друга космічна швидкість — v_esc = √(2GM / r)

Мінімальна швидкість на радіусі r, яка дозволила б супутнику вирватися від центральної маси. Справжня швидкість супутника в перигелії лишається нижчою за це значення, тож орбіта лишається зв'язаною — замкнений еліпс, що описує рівні площі за рівні часи.

Колова орбітальна швидкість — v = √(GM / r)

Дотична швидкість, що дає досконале коло на радіусі r. Запуск швидший за неї в перигелії (як у кожному еліптичному замірі тут) викидає супутника назовні до далекого афелію, перш ніж гравітація поверне його.

Що друкований робочий аркуш пропонує учням обчислити

• Для однієї орбіти запишіть показ h у перигелії та знову в афелії. У межах похибки зчитування вони мають збігатися. Використовуючи h = r·v, поясніть, чому супутник мусить рухатися повільніше, коли r великий (афелій), і швидше, коли r малий (перигелій), щоб h лишився сталим.
• Площа, що описується за одиницю часу, дорівнює dA/dt = h/2. Оскільки h стала, рівні площі описуються за рівні часи. Використайте виміряний h для першої орбіти, щоб обчислити dA/dt, і підтвердьте, що h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) відтворює значення, зчитане з моделювання.
• Порівняйте швидкість супутника в перигелії (v_p = h/r_p) з другою космічною v_esc, обчисленою для кожного рядка. Чи v_p вище чи нижча за v_esc, і що це каже про те, чи орбіта лишається зв'язаною?

Де це трапляється за межами лабораторії

• Комета Галлея проноситься повз Сонце за місяці, але потребує десятиліть, щоб повзти назад із зовнішньої частини Сонячної системи. Використовуючи закон рівних площ, поясніть, чому комета проводить так мало орбіти біля Сонця й так багато далеко.
• Питомий момент імпульсу h = r·v не містить маси. Якби ви подвоїли масу супутника, але запустили його ідентично, чи змінився б виміряний h? А повний момент імпульсу L = m·r·v? Поясніть різницю.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Вітаємо у рівних площах
2. Виберіть супутник
3. Натисніть «Запустити»
4. Рівні площі
5. Відкрийте дані
6. У вас вийшло!

Відкрийте інтерактивне моделювання, щоб зібрати сцену, натиснути «Запустити» та дослідити з живими вимірюваннями й керованим заняттям.

Відкрити інтерактивну лабораторію →

Завантажити лабораторний аркуш →

Закони Кеплера