玻爾模型與氫原子光譜
原子中的電子只能佔據特定的固定能級，就像梯子上的橫檔一樣——它們永遠不能停留在橫檔之間。當電子從較高的能級躍遷到較低的能級時，它會發射出一個光子，其能量恰好等於兩能級之差，這正是氫原子發出的光呈現出分立的鮮豔顏色、而不是連續彩虹色的原因。
公式
1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- λ — 波長 (m): 電子躍遷時發出的光的波長
- R — 裡德伯常數 (1/m): 一個決定氫原子能級尺度的固定常數
- n₁ — 低能級 (—): 電子躍遷後到達的能級，離原子核更近
- n₂ — 高能級 (—): 電子躍遷前所處的能級，離原子核更遠
解題示例
氫原子中的一個電子從能級 n = 3 躍遷到能級 n = 2——這是巴耳末系的第一條譜線。請用裡德伯常數 R 表示 1/λ。
- n₁ = 2
- n₂ = 3
- 1/λ = R · (1/n₁² − 1/n₂²)
- 1/λ = R · (1/4 − 1/9) = R · (9/36 − 4/36)
1/λ = 5R/36
自我檢測
哪個光子攜帶的能量更多：電子從 n = 2 躍遷到 n = 1（萊曼系），還是從 n = 3 躍遷到 n = 2（巴耳末系）？
- 正確答案: 萊曼系（n = 2 → 1）
- 巴耳末系（n = 3 → 2）
- 兩者能量相同
回答正確！一直躍遷到 n = 1 比躍遷到 n = 2 的能級差更大，所以萊曼系光子的能量更高——這也是它落在紫外區而不是可見光區的原因。
對於 n = 2 到 n = 1 的躍遷（萊曼系的第一條譜線），用 R 表示 1/λ 是多少？
- R/4
- 正確答案: 3R/4
- 3R/2
正確！1/n₁² − 1/n₂² = 1/1 − 1/4 = 3/4，所以 1/λ = 3R/4——這就是萊曼-阿爾法譜線。
在哪裡能看到
氫放電管發出的是特定的淡紫粉紅色光，而不是連續的彩虹，而天文學家則從恆星光譜中被原子「打出」的暗線解讀出恆星的成分。這兩者都源自電子在固定的橫檔之間落下：每次落下都發射一個能量恰好等於橫檔間能量差的光子。
常見誤解
首先，哪種躍遷放出的能量多：落差越大，釋放的光子能量越高——躍遷到 n = 1（萊曼系）比躍遷到 n = 2（巴耳末系）發射出更多能量，因為愈往上爬、橫檔排得愈密。再來是橫檔的算術：光子的 1/λ 相減的是「平方」的倒數，所以從 n = 2 躍遷到 n = 1 時是 1/1² − 1/2² = 1 − 1/4 = 3/4，得出 1/λ = 3R/4——而不是把 n 直接相減的差。
關聯知識
能量量子化進入原子層級：光電效應裡的光子，如今解釋了原子為什麼會發出尖銳的分立譜線。但波耳的橫檔是被「假設」出來的，並沒有被解釋——下一課的物質波補上了這個「為什麼」（允許的軌道其實是駐波），這也是這個模型被當作一座出色墊腳石來教的原因。