不確定性原理
你永遠無法同時精確地知道一個物體的確切位置和確切動量——你越精確地確定物體在哪裡，你就越無法精確地知道它是如何運動的，反之亦然。這並不是因為我們的測量儀器不夠精密；這是自然本身內在的一種根本限制，只有對於像電子這樣非常微小的粒子，這種限制才會變得明顯。
公式
Δx · Δp ≥ ℏ / 2
- Δx — 位置不確定度 (m): 電子可能所在位置的分散程度
- Δp — 動量不確定度 (kg·m/s): 電子可能動量值的分散程度
- ℏ — 約化普朗克常數 (J·s): 一個約為 1 × 10⁻³⁴ 的極小固定數值，它設定了自然界不確定性的極限
解題示例
一個電子被限制在一個寬度為 1 × 10⁻¹⁰ 米的盒子裡——大約相當於一個原子的大小。它的動量不確定度最小可能是多少？
- Δx = 1 × 10⁻¹⁰ m
- ℏ = 1 × 10⁻³⁴ J·s
- Δp ≥ ℏ / (2 · Δx)
- Δp ≥ (1 × 10⁻³⁴ J·s) / (2 × 1 × 10⁻¹⁰ m)
Δp ≥ 5 × 10⁻²⁵ kg·m/s
自我檢測
同一個電子現在被壓縮排一個更小的盒子，寬度只有 1 × 10⁻¹¹ 米——緊了十倍。新的最小動量不確定度是多少？
- 5 × 10⁻²⁶ kg·m/s
- 正確答案: 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s
- 5 × 10⁻²³ kg·m/s
答對了！將 Δx 縮小十倍會迫使 Δp 增大相同的倍數:1 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 1 × 10⁻¹¹) = 5 × 10⁻²⁴ 千克米每秒。
如果一位物理學家設法更精確地確定了一個電子的位置，那麼它的動量不確定度必然會發生什麼變化？
- 必然減小
- 保持完全不變
- 正確答案: 必然增大
完全正確——Δx 和 Δp 被 Δx · Δp ≥ ℏ/2 這一關係鎖定在一起，所以縮小其中一個會迫使另一個增大。
在哪裡能看到
你遇到這條定律，是透過它的後果，而不是親眼所見：原子中的電子永遠不會塌縮進原子核，因為把電子擠進愈小的空間，就迫使它的動量分布愈大——而量子點的顏色正是這麼來的：它的大小決定了電子被限制的程度，進而決定其能量。
常見誤解
最深的錯誤是把帳算在儀器頭上——Δx · Δp ≥ ℏ / 2 講的不是儀器笨拙，而是任何具有波動性的事物天生就有的下限，而物質波讓所有東西都落在這個下限之上。方向性也很重要：把位置釘得愈精確，就「強迫」動量分布往上膨脹——把盒子再壓緊十倍（到 1 × 10⁻¹¹ m），Δp ≥ ℏ / (2 · Δx) 便升到 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s，整整大了十倍。
關聯知識
這是物質波本性直接寄來的帳單：一個波無法同時位置精確、速率也精確，所以波耳的原子停在一個有限的尺寸，而不是塌縮。它為這個單元的量子半部畫下句點——下一課的時間膨脹則開啟相對論，也就是近代物理的另一根支柱。