不确定性原理
你永远无法同时精确地知道一个物体的确切位置和确切动量——你越精确地确定物体在哪里，你就越无法精确地知道它是如何运动的，反之亦然。这并不是因为我们的测量仪器不够精密；这是自然本身内在的一种根本限制，只有对于像电子这样非常微小的粒子，这种限制才会变得明显。
公式
Δx · Δp ≥ ℏ / 2
- Δx — 位置不确定度 (m): 电子可能所在位置的分散程度
- Δp — 动量不确定度 (kg·m/s): 电子可能动量值的分散程度
- ℏ — 约化普朗克常数 (J·s): 一个约为 1 × 10⁻³⁴ 的极小固定数值，它设定了自然界不确定性的极限
解题示例
一个电子被限制在一个宽度为 1 × 10⁻¹⁰ 米的盒子里——大约相当于一个原子的大小。它的动量不确定度最小可能是多少？
- Δx = 1 × 10⁻¹⁰ m
- ℏ = 1 × 10⁻³⁴ J·s
- Δp ≥ ℏ / (2 · Δx)
- Δp ≥ (1 × 10⁻³⁴ J·s) / (2 × 1 × 10⁻¹⁰ m)
Δp ≥ 5 × 10⁻²⁵ kg·m/s
自我检测
同一个电子现在被压缩进一个更小的盒子，宽度只有 1 × 10⁻¹¹ 米——紧了十倍。新的最小动量不确定度是多少？
- 5 × 10⁻²⁶ kg·m/s
- 正确答案: 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s
- 5 × 10⁻²³ kg·m/s
答对了！将 Δx 缩小十倍会迫使 Δp 增大相同的倍数:1 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 1 × 10⁻¹¹) = 5 × 10⁻²⁴ 千克米每秒。
如果一位物理学家设法更精确地确定了一个电子的位置，那么它的动量不确定度必然会发生什么变化？
- 必然减小
- 保持完全不变
- 正确答案: 必然增大
完全正确——Δx 和 Δp 被 Δx · Δp ≥ ℏ/2 这一关系锁定在一起，所以缩小其中一个会迫使另一个增大。
在哪里能看到
你是通过这条定律的后果、而不是亲眼看见来认识它的：原子中的电子永远不会坍缩进原子核，因为把电子挤进更小的空间会迫使它的动量展宽增大——而量子点的颜色正来自这一点，它的尺寸决定了电子受束缚的程度，从而决定了它的能量。
常见误区
最深层的错误是怪罪仪器——Δx · Δp ≥ ℏ / 2 说的不是仪器笨拙，而是任何像波的东西天生内建的一条下限，而物质波让一切都在这条下限之上。方向同样重要：把位置钉得越准，就会迫使动量展宽升上去——把盒子收紧十倍（收到 1 × 10⁻¹¹ m），Δp ≥ ℏ / (2 · Δx) 就升到 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s，大了十倍。
关联知识
这是为物质波本性支付的直接账单：一列波不可能既被精确定位又具有精准的步调，所以玻尔的原子停在有限的大小上，而不是坍缩掉。它为本模块的量子部分收尾——下一课的时间膨胀则开启相对论，即现代物理的另一根支柱。