Segunda ley de Kepler: áreas iguales y momento angular

1 · Predecir

Un satélite en una órbita elíptica se lanza de lado en el perihelio (aproximación más cercana). A medida que avanza hacia el afelio y regresa, ¿la línea que lo une a la masa central barre el área más rápido cerca del perihelio, más rápido cerca del afelio o al mismo ritmo en todas partes?

• La línea del radio barre más rápidamente el área cerca del perihelio, donde el satélite se mueve más rápido.
• La línea del radio barre áreas iguales en tiempos iguales: la misma velocidad en todas partes de la órbita.
• La línea del radio barre el área más rápidamente cerca del afelio, donde el satélite tiene más espacio para moverse.

2 · Configurar

1. Abra la simulación de áreas iguales y presione Restablecer. La masa central se encuentra en el centro del escenario con el parámetro gravitacional GM = 40 m³/s², y las cuñas del sector sombreado trazan el área que barre la línea del radio del satélite.
2. Habilite la sonda de momento angular específico (h) y la sonda de excentricidad (e) en el satélite para que ambas invariantes se muestren en vivo.
3. Para cada prueba a continuación, establezca el radio del perihelio r_p y el radio del afelio r_a, lance el satélite desde el perihelio con una velocidad puramente lateral (tangencial), presione Reproducir y deje que complete al menos una órbita completa antes de registrar la lectura h establecida.

3 · Recopilar Datos

Trace el momento angular específico medido h (eje y) contra el radio del perihelio r_p (eje x) para sus tres órbitas. Luego, observando el recorrido de una sola órbita, dibuja cómo cambia la velocidad del satélite del perihelio al afelio: ¿dónde es más rápido y dónde más lento?

4 · Analizar

1. Para una órbita, anote la lectura de h en el perihelio y de nuevo en el afelio. Dentro del error de lectura deberían coincidir. Usando h = r·v, explique por qué el satélite debe moverse más lento cuando r es grande (afelio) y más rápido cuando r es pequeño (perihelio) para mantener h constante.
2. El área barrida por unidad de tiempo es dA/dt = h/2. Como h es constante, se barren áreas iguales en tiempos iguales. Utilice su h medida para la primera órbita para calcular dA/dt, y confirme que h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reproduce el valor que leyó en la simulación.
3. Compare la velocidad del perihelio del satélite (v_p = h/r_p) con la velocidad de escape v_esc que calculó para cada fila. ¿Está v_p por encima o por debajo de v_esc, y qué le dice eso sobre si la órbita permanece ligada?

5 · Ampliar

1. El cometa Halley pasa rápidamente junto al Sol en meses, pero tarda décadas en alejarse del sistema solar exterior. Utilizando la ley de áreas iguales, explique por qué un cometa pasa tan poca parte de su órbita cerca del Sol y gran parte lejos del Sol.
2. El momento angular específico h = r·v no conlleva ningún término de masa. Si duplicaras la masa del satélite pero lo lanzaras de manera idéntica, ¿cambiaría la h medida? ¿Cambiaría su momento angular total L = m·r·v? Explique la diferencia.

La física detrás de este experimento

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