Tercera ley de Kepler: período orbital versus radio

1 · Predecir

Un satélite gira alrededor de una masa central en una órbita circular estable. Cuando lo mueve a un radio de órbita mayor, ¿cómo cambia el tiempo para una revolución completa?

2 · Configurar

  1. Abra el ajuste preestablecido grav-kepler-law. Un satélite orbita la masa central; el temporizador de órbita y la sonda de período ya están conectados.
  2. Establezca el radio de la órbita del satélite r, luego lánzelo de lado a la velocidad de órbita circular que se muestra en la tarjeta de fórmula v = √(GM/r) para que la órbita permanezca circular.
  3. Deje que el satélite complete al menos un bucle completo y lea el período orbital T en el temporizador una vez que la órbita esté estable.

3 · Recopilar datos

Radio de órbita r (m)velocidad circular v (m/s)Periodo medido T (s)
2.50
3.50
4.50

Grafique T² (eje vertical) frente a r³ (eje horizontal) para sus tres órbitas. Dibuje la mejor recta de ajuste que pase por el origen y halle su pendiente.

4 · Analizar

  1. Para cada fila, calcule T²/r³. ¿Son los tres valores aproximadamente iguales? Compare su promedio con 4π²/GM usando GM = 40 (por lo tanto, 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
  2. Su línea T²-vs-r³ debe pasar por el origen. Explique por qué esa forma de línea recta que pasa por el origen es exactamente lo que predice T² = (4π²/GM)·r³, y qué representa la pendiente.

5 · Ampliar

  1. Los planetas reales obedecen la misma ley: Mercurio (órbita pequeña) gira alrededor del Sol en 88 días, mientras que Neptuno (órbita grande) tarda 165 años. Utilice T²/r³ = constante para explicar esta enorme diferencia.
  2. La constante de Kepler aquí es 4π²/GM, así que depende de la masa central, no del satélite. Prediga qué sucede con el período de cada órbita si el GM del cuerpo central se duplicara.

La física detrás de este experimento

Tercera ley de Kepler

Para cualquier órbita alrededor de una masa central determinada, el período al cuadrado es proporcional al radio medio al cubo: T²/r³ = 4π²/GM. La proporción es la misma para cada órbita, por lo que cronometrar una órbita en un radio conocido revela GM.

Velocidad orbital circular

Un cuerpo en una órbita circular de radio r debe viajar a v = √(GM/r): la velocidad que hace que la gravedad suministre exactamente la fuerza centrípeta necesaria. El lanzamiento a esta velocidad mantiene la órbita circular en lugar de elíptica.

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Mecánica

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