Падение в поле тяготения: разгоняется ли зонд всё сильнее?
1 · Прогноз
Зонд отпускают из состояния покоя, и он падает прямо к центральной массе в обратно-квадратичном поле. Спускаясь с радиуса 3.0 m до 2.0 m и до 1.0 m, как меняется его скорость?
- Он набирает скорость равномерно, как шар, роняемый у поверхности Земли.
- Он набирает скорость всё быстрее — притяжение растёт с приближением.
- Он замедляется при приближении, потому что центральная масса отталкивает быстрых.
2 · Подготовка
- Откройте пресет grav-fall. Один зонд покоится на расстоянии r₀ = 3.5 м от центральной массы в центре холста.
- Убедитесь, что r-датчик (расстояние) и датчик скорости оба прикреплены к телу зонда, прежде чем что-либо запускать.
- Запустите симуляцию и ставьте на паузу, когда зонд проходит r = 3.0 м, затем 2.0 м, затем 1.0 м, считывая скорость зонда на каждом радиусе.
3 · Сбор данных
| Радиус отпускания r₀ (m) | Радиус r (m) | Вторая космическая скорость на r (m/s) | Скорость падения (m/s) |
|---|---|---|---|
| 3.50 | 3.00 | ||
| 3.50 | 2.00 | ||
| 3.50 | 1.00 |
Постройте скорость падения (ось y) против радиуса r (ось x). Учтите: r уменьшается при падении зонда, так что читайте кривую справа налево.
4 · Анализ
- Зонд проходит те же 0.5 m от 3.5→3.0 m и снова от 1.5→1.0 m, но набирает куда больше скорости на внутреннем интервале. Используя свои данные, объясните, почему равные пути не дают равных приростов скорости здесь (в отличие от свободного падения при постоянном g).
- Для каждой строки сравните измеренную скорость падения со второй космической скоростью на том же радиусе. Скорость падения всегда меньше — свяжите это с тем, что зонд стартовал из покоя (его полная энергия отрицательна, поэтому он остаётся связанным).
5 · Развитие
- У поверхности Земли мы используем v = √(2g·Δh) с постоянным g. Объясните, почему эта формула здесь не работает и какая величина заменяет постоянное g по мере движения зонда внутрь.
- Идеализированная формула v = √(2GM(1/r − 1/r₀)) обращается в бесконечность при r → 0. Реальная симуляция вместо этого удерживает зонд чуть снаружи центра. Какая физическая причина (и какое решение моделирования) удерживает скорость конечной?
Физика этого эксперимента
Гравитационная потенциальная энергия
При падении зонда внутрь r уменьшается, и эта (отрицательная) потенциальная энергия становится ещё более отрицательной, высвобождая энергию, которая вновь появляется как кинетическая — поэтому зонд продолжает разгоняться, а не падает равномерно.
Вторая космическая скорость
Скорость, которая понадобилась бы телу на радиусе r, чтобы едва-едва убежать от центральной массы. Зонд, отпущенный из покоя, стартует с отрицательной полной энергией, поэтому его скорость падения ниже этого значения на каждом радиусе — он связан, не убегает.