Третий закон Кеплера: период орбиты против радиуса
1 · Прогноз
Спутник обращается вокруг центральной массы по устойчивой круговой орбите. При переносе на больший радиус орбиты как меняется время полного оборота?
- Более крупная орбита занимает больше времени на оборот.
- Период одинаков на любом радиусе.
- Более крупная орбита занимает меньше времени на оборот.
2 · Подготовка
- Откройте пресет третьего закона Кеплера. Спутник обращается вокруг центральной массы; орбитальный таймер и датчик периода уже прикреплены.
- Задайте радиус орбиты спутника r, затем запустите его вбок со скоростью круговой орбиты, показанной на карточке формулы v = √(GM/r), чтобы орбита осталась круговой.
- Дайте спутнику завершить хотя бы один полный круг и считайте орбитальный период T с таймера, когда орбита установится.
3 · Сбор данных
| Радиус орбиты r (m) | Круговая скорость v (m/s) | Измеренный период T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Постройте T² (вертикальная ось) против r³ (горизонтальная ось) для трёх орбит. Проведите наилучшую прямую через начало координат и найдите её наклон.
4 · Анализ
- Для каждой строки вычислите T²/r³. Примерно равны ли три значения? Сравните их среднее с 4π²/GM при GM = 40 (тогда 4π²/GM ≈ 0.99 с²/м³).
- Ваша прямая T² против r³ должна проходить через начало координат. Объясните, почему именно такую прямую через начало предсказывает T² = (4π²/GM)·r³ и что означает наклон.
5 · Развитие
- Реальные планеты подчиняются тому же закону: Меркурий (малая орбита) обегает Солнце за 88 дней, а Нептуну (большая орбита) нужно 165 лет. Используя T²/r³ = const, объясните эту огромную разницу.
- Постоянная Кеплера здесь — 4π²/GM, поэтому зависит от центральной массы, а не от спутника. Предскажите, что произойдёт с периодом каждой орбиты, если GM центрального тела удвоить.
Физика этого эксперимента
Третий закон Кеплера
Для любой орбиты вокруг данной центральной массы квадрат периода пропорционален кубу среднего радиуса: T²/r³ = 4π²/GM. Отношение одинаково для всех орбит, поэтому хронометраж одной орбиты при известном радиусе раскрывает GM.
Круговая орбитальная скорость
Тело на круговой орбите радиуса r обязано двигаться со скоростью v = √(GM/r): такова скорость, при которой гравитация в точности даёт нужную центростремительную силу. Запуск с этой скоростью сохраняет орбиту круговой, а не эллиптической.