相對論性電子：當經典動量失效時
1·預測
一個400 keV的電子運動得足夠快，以至於相對論效應變得重要（β ≈ 0.83）。在這一能量下，使用簡單的非相對論德布羅意公式λ = h/√(2mK)是否仍能給出準確的波長？
- 是——非相對論公式在電子的任何能量下都依然適用。
- 否——在這個能量下，電子的動量必須用相對論方式計算；非相對論公式會出現明顯誤差。
- 波長計算根本不依賴相對論效應。
2·設定
- 開啟 electron-ke-comparison 預設並按下 Reset。此預設的預設動能是 400 keV，β ≈ 0.83。
- 啟用德布羅意波長讀數。
- 設定每次試驗的電子動能（全部在相對論範圍內）並使用相對論動量公式記錄其德布羅意波長。
3·收集數據
| 動能K (eV) | 德布羅意波長 λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
針對三次試驗，繪製波長λ（Y軸）相對動能K（x軸）的關係圖。
4·分析
- 對於一項試驗，透過 pc = √(K(K + 2m_ec²)) （其中 m_ec² ≈ 511 keV，電子的靜止能量）計算相對論動量，然後 λ = hc/(pc) — 仔細轉換單位。與表比較。
- 請解釋為什麼當K遠小於靜止能量mc²時，相對論性動量公式pc = √(K(K + 2mc²))會化簡為熟悉的非相對論公式p = √(2mK)，以及當K接近或大於mc²時，為什麼這個近似會失效。
5·擴展
- 電子的靜止能量 m_ec² ≈ 511 keV。在 400 keV 動能下，電子的總能量已經比其靜止能量高出約 78%——完全處於相對論狀態。解釋為什麼物理學家有一條經驗法則，一旦動能接近靜止能量的大約 10%，相對論修正就變得很重要。
- 粒子加速器通常能達到遠大於粒子靜止能量的動能（極端相對論情形）。請解釋為什麼在那種極限下pc ≈ K（動量能量與動能幾乎相等），儘管這在日常的非相對論速度下顯然並不成立。
這個實驗背後的物理原理
相對論動量-能量關係
對相對論性粒子而言，動量與動能透過(pc)² = K(K + 2mc²)相聯繫，該式由完整的相對論能量-動量關係E² = (pc)² + (mc²)²推導而來。只有當K ≪ mc²時，它才會化簡為熟悉的非相對論公式p = √(2mK)。