橢圓軌道：能量、逃逸速度和偏心率
1·預測
一顆衛星以低於 circular-orbit 速度的速度圍繞中心質量以半徑 r 橫向發射。它會畫出一個閉合的橢圓、保持一個完美的圓，還是飛走而不再回來？
- 它形成一個封閉的細長橢圓並返回每個軌道。
- 它在發射半徑處保持完美的圓。
- 它逃離了中心群體，再也不會回來。
2·設定
- 打開橢圓軌道模擬並按重設。中心質量位於場景中央，其重力參數為GM = 40 m³/s²。
- 啟用衛星上的能量和偏心率探測器，以便即時顯示兩個不變量。
- 對於下面每一次試驗，將衛星放置在x軸上半徑r處，賦予其完全橫向（切向）的發射速度v，按下播放，並讓它至少完成一整圈軌道，然後再記錄穩定後的探針讀數。
3·收集數據
| 重力參數GM (m³/s²) | 發射半徑r (m) | 切向發射速度 v (m/s) | 逃逸速度 v_esc (m/s) | 比軌道能 ε (J/kg) | 偏心率e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
繪製測得的離心率e（Y軸）相對比軌道能ε（x軸）的關係圖。當ε趨向於零時，軌道的形狀會發生什麼變化？
4·分析
- 計算每行的比軌道能量 ε = v²/2 − GM/r 並確認符號。關於衛星是否與中心質量綁定，負 ε 告訴您什麼？
- 將每個發射速度 v 與您計算的逃逸速度 v_esc 進行比較。發射是切向的，因此 h = r·v；表明 e = √(1 + 2εh²/GM²) 再現了您從 sim 中讀取的偏心率，並解釋了為什麼接近逃逸速度的發射會產生更拉長的橢圓。
5·擴展
- 對於每個發射半徑，什麼切向速度可以將橢圓變成完美的圓形？ （提示：v_circ = √(GM/r)。）你的桌子的發射速度是高於還是低於該值，這如何解釋軌道的形狀？
- 長週期彗星的偏心率接近 1。這意味著它們最接近的速度相對於當地的逃逸速度意味著什麼——為什麼它們沒有完全逃離太陽？
這個實驗背後的物理原理
逃生速度
讓衛星逃離中心質量的半徑 r 處的最小切向速度。低於這個速度的發射會使 ε 保持負值，並且軌道受到限制——橢圓而不是不受限制的軌跡。
圓軌道速度
在半徑 r 處產生完美圓的切向速度。發射速度比這慢（就像這裡的每次試驗一樣），衛星在釋放後會向內下降，以發射點作為其遠點繪製一個橢圓。