開普勒第二定律：等面積與角動量

1·預測

橢圓軌道上的衛星在近日點（最近距離）側面發射。當它滑行到遠日點並返回時，將其與中心質量連接的線在近日點附近掃過區域的速度更快，在遠日點附近掃得更快，還是在所有地方都以相同的速度？

• 半徑線掃過近日點附近的區域最快，衛星在此移動最快。
• 半徑線在相同的時間內掃過相同的面積－軌道上各處的速度相同。
• 半徑線掃過遠日點附近區域的速度最快，衛星在那裡的移動空間最大。

2·設定

1. 打開面積定律模擬並按重設。中心質量位於場景中央，其重力參數為GM = 40 m³/s²，陰影扇形區域描繪出衛星徑向線所掃過的面積。
2. 在衛星上啟用比角動量探針（h）與離心率探針（e），使這兩個不變量即時顯示。
3. 對於下面的每個試驗，設定近日點半徑 r_p 和遠日點半徑 r_a，以純側向（切向）速度從近日點發射衛星，按「播放」，並讓它在記錄固定的 h 讀數之前完成至少一個完整的軌道。

3·收集數據

針對三次軌道，繪製測得的比角動量h（Y軸）相對近日點半徑r_p（x軸）的關係圖。然後，觀察單次軌道運行，勾勒出衛星速度從近日點到遠日點如何變化——哪裡最快，哪裡最慢？

4·分析

1. 對於一個軌道，記下近日點和遠日點的 h 讀數。在讀數誤差範圍內，它們應該匹配。使用 h = r·v，解釋為什麼當 r 較大（遠日點）時衛星必須移動得較慢，而當 r 較小（近日點）時衛星必須移動較快，以保持 h 恆定。
2. 單位時間掃過的面積為dA/dt = h/2。由於 h 是恆定的，因此在相同的時間內掃過相同的面積。使用您測量的第一個軌道的 h 來計算 dA/dt，並確認 h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) 再現您從 sim 中讀取的值。
3. 將衛星的近日點速度 (v_p = h/r_p) 與您為每行計算的逃逸速度 v_esc 進行比較。 v_p 是高於或低於 v_esc，這告訴你什麼關於軌道是否保持束縛？

5·擴展

1. 哈雷彗星在數月內掠過太陽，但從外太陽系爬回則需要數十年。使用 equal-areas 定律，解釋為什麼彗星的軌道靠近太陽的時間如此之少，而遠離太陽的時間卻如此之多。
2. 比角動量 h = r·v 不包含質量項。如果將衛星的質量加倍，但以相同的方式發射它，測得的 h 會改變嗎？它的全角動量 L = m·r·v 會改變嗎？解釋一下差異。

這個實驗背後的物理原理

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