克卜勒第三定律：軌道周期與半徑
1·預測
衛星在穩定的圓形軌道上圍繞中心質量運行。當你把它移到更大的軌道半徑時，一整圈的時間會發生什麼變化？
- 較大的軌道每轉需要更長的時間。
- 週期在任何半徑上都保持不變。
- 軌道越大，每轉所需的時間越少。
2·設定
- 開啟 grav-kepler-law 預設。衛星繞中心質量運行；軌道計時器和週期探測器已經連接。
- 設定衛星的軌道半徑 r，然後以 v = √(GM/r) 公式卡上顯示的 circular-orbit 速度向側面發射，使軌道保持圓形。
- 讓衛星完成至少一個完整的循環，並在軌道穩定後從計時器讀取軌道周期 T。
3·收集數據
| 軌道半徑r (m) | 圓週速度v (m/s) | 測量週期T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
針對三次軌道，繪製T²（縱軸）相對r³（橫軸）的關係圖。畫出通過原點的最佳擬合直線並求出其斜率。
4·分析
- 對於每一行計算 T²/r³。這三個數值大致相等嗎？使用 GM = 40 將其平均值與 4π²/GM 進行比較（因此 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³）。
- 你的T²對r³直線應通過原點。請解釋為什麼這種通過原點的直線形狀正是T² = (4π²/GM)·r³所預測的，以及斜率所代表的意義。
5·擴展
- 真實的行星遵循同樣的定律：水星（小軌道）繞太陽運行需要 88 天，而海王星（大軌道）則需要 165 年。使用 T²/r³ = 常數來解釋這一巨大差異。
- 這裡的開普勒常數是 4π²/GM，因此它取決於中心質量，而不是衛星。預測如果中心天體的 GM 加倍，每個軌道的周期會發生什麼。
這個實驗背後的物理原理
開普勒第三定律
對於圍繞給定中心質量的任何軌道，週期的平方與平均半徑的立方成正比：T²/r³ = 4π²/GM。每個軌道的比率都是相同的，因此在已知半徑處對一個軌道進行計時可以揭示 GM。
圓軌道速度
半徑為 r 的圓形軌道上的物體必須以 v = √(GM/r) 運行：此速度使重力恰好提供所需的向心力。以這樣的速度發射使軌道保持圓形而不是橢圓形。