케플러의 제2법칙: 동일 면적 및 각운동량

1 · 예측

근일점에서 옆으로 발사된 위성이 원일점까지 나갔다 되돌아오는 동안, 중심 질량과 위성을 잇는 선이 근일점 근처에서 더 빨리 면적을 쓸까요, 원일점 근처에서 더 빨리 쓸까요, 아니면 어디서나 같은 비율로 쓸까요?

• 반경 선은 위성이 가장 빠르게 움직이는 근일점 근처의 영역을 가장 빠르게 스윕합니다.
• 반경 선은 궤도의 모든 곳에서 동일한 속도로 동일한 시간에 동일한 영역을 스윕합니다.
• 반경선은 위성이 움직일 여유가 가장 많은 원일점 근처에서 면적을 가장 빨리 씁니다.

2 · 설정

1. equal-areas 시뮬레이션을 열고 Reset을 누릅니다. 중앙 질량은 중력 매개변수 GM = 40m³/s²인 무대 중앙에 위치하며, 음영 처리된 부분 쐐기는 위성의 반경 선이 휩쓰는 영역을 추적합니다.
2. 위성에서 비각운동량 프로브(h)와 이심률 프로브(e)를 활성화하여 두 불변량이 실시간으로 표시되도록 하세요.
3. 아래의 각 시행에 대해 근일점 반경 r_p 및 원일점 반경 r_a를 설정하고 순전히 측면(접선) 속도로 근일점에서 위성을 발사하고 재생을 누른 다음 정착된 h 판독값을 기록하기 전에 적어도 하나의 전체 궤도를 완료하도록 합니다.

3 · 데이터 수집

세 궤도에 대해 측정한 비각운동량 h(y축)를 근일점 반지름 r_p(x축)에 대해 그래프로 그리세요. 그런 다음 하나의 궤도가 진행되는 것을 관찰하며, 근일점에서 원일점까지 위성의 속력이 어떻게 변하는지 스케치하세요 — 어디에서 가장 빠르고 어디에서 가장 느립니까?

4 · 분석

1. 판독 오차 범위 안에서 두 값은 일치해야 합니다.
2. 단위 시간당 스윕 면적은 dA/dt = h/2입니다. h는 일정하므로 동일한 면적이 동일한 시간에 스윕됩니다. 측정된 h를 첫 번째 궤도에 사용하여 dA/dt를 계산하고 h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a))가 시뮬레이션에서 읽은 값을 재현하는지 확인합니다.
3. v_p는 v_esc보다 높습니까, 낮습니까? 이것이 궤도가 구속 상태를 유지하는지에 대해 무엇을 말해 주나요?

5 · 확장

1. 케플러의 동일 면적 법칙을 사용하여, 혜성이 공전 시간 중 태양 근처에 있는 시간은 왜 그렇게 짧고 먼 곳에 있는 시간은 왜 그렇게 긴지 설명하세요.
2. 비각운동량 h = r·v에는 질량 항이 없습니다.

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