케플러의 제2법칙: 동일 면적 및 각운동량

1 · 예측

타원 궤도의 위성이 근일점(가장 가까운 접근)에서 옆으로 발사됩니다. 그것이 원일점을 향해 그리고 뒤로 이동함에 따라 중심 덩어리에 합류하는 선이 근일점 근처에서 더 빠르게 영역을 휩쓸어 가나요, 원일점 근처에서 더 빠르게, 아니면 모든 곳에서 같은 속도로 휩쓸려 가나요?

• 반경 선은 위성이 가장 빠르게 움직이는 근일점 근처의 영역을 가장 빠르게 스윕합니다.
• 반경 선은 궤도의 모든 곳에서 동일한 속도로 동일한 시간에 동일한 영역을 스윕합니다.
• 반경 선은 위성이 이동할 공간이 가장 많은 원점 근처의 영역을 가장 빠르게 스윕합니다.

2 · 설정

1. equal-areas 시뮬레이션을 열고 Reset을 누릅니다. 중앙 질량은 중력 매개변수 GM = 40m³/s²인 무대 중앙에 위치하며, 음영 처리된 부분 쐐기는 위성의 반경 선이 휩쓰는 영역을 추적합니다.
2. 위성에서 비각운동량 프로브(h)와 이심률 프로브(e)를 활성화하여 두 불변량이 실시간으로 표시되도록 하세요.
3. 아래의 각 시행에 대해 근일점 반경 r_p 및 원일점 반경 r_a를 설정하고 순전히 측면(접선) 속도로 근일점에서 위성을 발사하고 재생을 누른 다음 정착된 h 판독값을 기록하기 전에 적어도 하나의 전체 궤도를 완료하도록 합니다.

3 · 데이터 수집

세 궤도에 대해 측정한 비각운동량 h(y축)를 근일점 반지름 r_p(x축)에 대해 그래프로 그리세요. 그런 다음 하나의 궤도가 진행되는 것을 관찰하며, 근일점에서 원일점까지 위성의 속력이 어떻게 변하는지 스케치하세요 — 어디에서 가장 빠르고 어디에서 가장 느립니까?

4 · 분석

1. 하나의 궤도에 대해 근일점과 원일점에서 h 판독값을 기록해 두십시오. 읽기 오류 내에서 일치해야 합니다. h = r·v를 사용하여, h를 일정하게 유지하기 위해 r이 클 때(원일점) 위성이 더 느리게 이동하고 r이 작을 때(근일점) 더 빠르게 이동해야 하는 이유를 설명하십시오.
2. 단위 시간당 스윕 면적은 dA/dt = h/2입니다. h는 일정하므로 동일한 면적이 동일한 시간에 스윕됩니다. 측정된 h를 첫 번째 궤도에 사용하여 dA/dt를 계산하고 h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a))가 시뮬레이션에서 읽은 값을 재현하는지 확인합니다.
3. 위성의 근일점 속도(v_p = h/r_p)를 각 행에 대해 계산한 탈출 속도 v_esc와 비교합니다. v_p는 v_esc보다 높거나 낮으며, 이는 궤도가 계속 묶여 있는지 여부에 대해 무엇을 알려줍니까?

5 · 확장

1. 핼리 혜성은 몇 달 만에 태양을 지나쳐 지나가지만 태양계 외부에서 기어나오는 데는 수십 년이 걸립니다. equal-areas 법칙을 사용하여 혜성이 태양 근처에서 공전하는 시간은 매우 적고 대부분은 먼 곳에서 공전하는 이유를 설명하십시오.
2. 특정 각운동량 h = r·v는 질량 항을 전달하지 않습니다. 위성의 질량을 두 배로 늘리고 동일하게 발사하면 측정된 h가 변경됩니까? 전체 각운동량 L = m·r·v가 변할까요? 차이점을 설명하세요.

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