椭圆轨道：能量、逃逸速度和偏心率
1·预测
一颗卫星以低于 circular-orbit 速度的速度围绕中心质量以半径 r 横向发射。它会画出一个闭合的椭圆、保持一个完美的圆，还是飞走而不再返回？
- 它形成一个封闭的细长椭圆并返回每个轨道。
- 它在发射半径处保持完美的圆。
- 它逃离了中心群体，再也不会回来。
2·设置
- 打开椭圆轨道模拟并按重置。中心质量位于场景中央，其引力参数为GM = 40 m³/s²。
- 启用卫星上的能量和偏心率探测器，以便实时显示两个不变量。
- 对于下面每一次试验，将卫星放置在x轴上半径r处，赋予其完全横向（切向）的发射速度v，按下播放，并让它至少完成一整圈轨道，然后再记录稳定后的探针读数。
3·收集数据
| 引力参数GM (m³/s²) | 发射半径r (m) | 切向发射速度 v (m/s) | 逃逸速度 v_esc (m/s) | 比轨道能 ε (J/kg) | 偏心率e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
绘制测得的离心率e（y轴）相对比轨道能ε（x轴）的关系图。当ε趋向于零时，轨道的形状会发生什么变化？
4·分析
- 计算每行的比轨道能量 ε = v²/2 − GM/r 并确认符号。关于卫星是否与中心质量绑定，负 ε 告诉您什么？
- 将每个发射速度 v 与您计算的逃逸速度 v_esc 进行比较。发射是切向的，因此 h = r·v；表明 e = √(1 + 2εh²/GM²) 再现了您从 sim 中读取的偏心率，并解释了为什么接近逃逸速度的发射会产生更拉长的椭圆。
5·扩展
- 对于每个发射半径，什么切向速度可以将椭圆变成完美的圆形？ （提示：v_circ = √(GM/r)。）你的桌子的发射速度是高于还是低于该值，这如何解释轨道的形状？
- 长周期彗星的偏心率接近 1。这意味着它们最接近的速度相对于当地的逃逸速度意味着什么——为什么它们没有完全逃离太阳？
这个实验背后的物理原理
逃生速度
让卫星逃离中心质量的半径 r 处的最小切向速度。低于这个速度的发射会使 ε 保持负值，并且轨道受到限制——椭圆而不是不受限制的轨迹。
圆轨道速度
在半径 r 处产生完美圆的切向速度。发射速度比这慢（就像这里的每次试验一样），卫星在释放后会向内下降，以发射点作为其远点绘制一个椭圆。