开普勒第二定律：等面积和角动量

1·预测

椭圆轨道上的卫星在近日点（最近距离）侧面发射。当它滑行到远日点并返回时，将其与中心质量连接的线在近日点附近扫过区域的速度更快，在远日点附近扫得更快，还是在所有地方都以相同的速度？

• 半径线扫过近日点附近的区域最快，卫星在此处移动最快。
• 半径线在相同的时间内扫过相同的面积——轨道上各处的速度相同。
• 半径线扫过远日点附近区域的速度最快，卫星在那里的移动空间最大。

2·设置

1. 打开面积定律模拟并按重置。中心质量位于场景中央，其引力参数为GM = 40 m³/s²，阴影扇形区域描绘出卫星径向线所扫过的面积。
2. 在卫星上启用比角动量探针（h）与离心率探针（e），使这两个不变量实时显示。
3. 对于下面的每个试验，设置近日点半径 r_p 和远日点半径 r_a，以纯侧向（切向）速度从近日点发射卫星，按“播放”，并让它在记录固定的 h 读数之前完成至少一个完整的轨道。

3·收集数据

针对三次轨道，绘制测得的比角动量h（y轴）相对近日点半径r_p（x轴）的关系图。然后，观察单次轨道运行，勾勒出卫星速度从近日点到远日点如何变化——哪里最快，哪里最慢？

4·分析

1. 对于一个轨道，记下近日点和远日点的 h 读数。在读数误差范围内，它们应该匹配。使用 h = r·v，解释为什么当 r 较大（远日点）时卫星必须移动得较慢，而当 r 较小（近日点）时卫星必须移动较快，以保持 h 恒定。
2. 单位时间扫过的面积为dA/dt = h/2。由于 h 是恒定的，因此在相同的时间内扫过相同的面积。使用您测量的第一个轨道的 h 来计算 dA/dt，并确认 h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) 再现您从 sim 中读取的值。
3. 将卫星的近日点速度 (v_p = h/r_p) 与您为每行计算的逃逸速度 v_esc 进行比较。 v_p 是高于还是低于 v_esc，这告诉你什么关于轨道是否保持束缚？

5·扩展

1. 哈雷彗星在数月内掠过太阳，但从外太阳系爬回则需要数十年。使用 equal-areas 定律，解释为什么彗星的轨道靠近太阳的时间如此之少，而远离太阳的时间却如此之多。
2. 比角动量 h = r·v 不包含质量项。如果将卫星的质量加倍，但以相同的方式发射它，测得的 h 会改变吗？它的全角动量 L = m·r·v 会改变吗？解释一下区别。

这个实验背后的物理原理

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