开普勒第三定律：轨道周期与半径
1·预测
卫星在稳定的圆形轨道上围绕中心质量运行。当你把它移动到更大的轨道半径时，一整圈的时间会发生什么变化？
- 较大的轨道每转需要更长的时间。
- 周期在任何半径上都保持不变。
- 轨道越大，每转所需的时间越少。
2·设置
- 打开 grav-kepler-law 预设。卫星绕中心质量运行；轨道计时器和周期探测器已经连接。
- 设置卫星的轨道半径 r，然后以 v = √(GM/r) 公式卡上显示的 circular-orbit 速度向侧面发射，使轨道保持圆形。
- 让卫星完成至少一个完整的循环，并在轨道稳定后从计时器读取轨道周期 T。
3·收集数据
| 轨道半径r (m) | 圆周速度v (m/s) | 测量周期T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
针对三次轨道，绘制T²（纵轴）相对r³（横轴）的关系图。画出通过原点的最佳拟合直线并求出其斜率。
4·分析
- 对于每一行计算 T²/r³。这三个值大致相等吗？使用 GM = 40 将其平均值与 4π²/GM 进行比较（因此 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³）。
- 你的T²对r³直线应通过原点。请解释为什么这种通过原点的直线形状正是T² = (4π²/GM)·r³所预测的，以及斜率所代表的意义。
5·扩展
- 真实的行星遵循同样的定律：水星（小轨道）绕太阳运行需要 88 天，而海王星（大轨道）则需要 165 年。使用 T²/r³ = 常数来解释这一巨大差异。
- 这里的开普勒常数是 4π²/GM，因此它取决于中心质量，而不是卫星。预测如果中心天体的 GM 加倍，每个轨道的周期会发生什么。
这个实验背后的物理原理
开普勒第三定律
对于围绕给定中心质量的任何轨道，周期的平方与平均半径的立方成正比：T²/r³ = 4π²/GM。每个轨道的比率都是相同的，因此在已知半径处对一个轨道进行计时可以揭示 GM。
圆轨道速度
半径为 r 的圆形轨道上的物体必须以 v = √(GM/r) 运行：该速度使重力恰好提供所需的向心力。以这样的速度发射使轨道保持圆形而不是椭圆形。