Релятивістські електрони: коли класичний імпульс дає збій
1 · Прогноз
Електрон 400 keV рухається достатньо швидко, щоб релятивістські ефекти мали значення (β ≈ 0.83). Чи дає проста нерелятивістська формула де Бройля λ = h/√(2mK) досі точну довжину хвилі при цій енергії?
- Так — нерелятивістська формула досі працює добре при будь-якій енергії електрона.
- Ні — при цій енергії імпульс електрона треба обчислювати релятивістськи; нерелятивістська формула була б помітно хибною.
- Обчислення довжини хвилі взагалі не залежать від релятивістських ефектів.
2 · Установка
- Відкрийте пресет electron-ke-comparison та натисніть «Скинути». Типова кінетична енергія цього пресета 400 keV, що дає β ≈ 0.83.
- Увімкніть показ довжини хвилі де Бройля.
- Задайте кінетичну енергію електрона для кожного заміру (усе в релятивістському режимі) та запишіть його довжину хвилі де Бройля, використовуючи релятивістську формулу імпульсу.
3 · Збір даних
| Кінетична енергія K (eV) | Довжина хвилі де Бройля λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
Побудуйте довжину хвилі λ (вісь y) проти кінетичної енергії K (вісь x) для трьох замірів.
4 · Аналіз
- Для одного заміру обчисліть релятивістський імпульс через pc = √(K(K + 2m_ec²)) (з m_ec² ≈ 511 keV, енергією спокою електрона), потім λ = hc/(pc) — обережно конвертуючи одиниці. Порівняйте з таблицею.
- Поясніть, чому релятивістська формула імпульсу pc = √(K(K + 2mc²)) зводиться до знайомої нерелятивістської p = √(2mK), коли K набагато менша за енергію спокою mc² — і чому це наближення ламається, щойно K стає порівнянною з mc² або більшою.
5 · Поглиблення
- Енергія спокою електрона m_ec² ≈ 511 keV. При кінетичній енергії 400 keV сумарна енергія електрона вже приблизно на 78% більша за його енергію спокою — цілком у релятивістському режимі. Поясніть, чому у фізиків є правило великого пальця, що релятивістські поправки стають важливими, щойно кінетична енергія наближається приблизно до 10% енергії спокою.
- Прискрювачі частинок routinely сягають кінетичних енергій, що величезно перевищують енергію спокою частинки (ультрарелятивістські). Поясніть, чому в тому крайньому межі pc ≈ K (енергія-імпульс і кінетична енергія стають майже рівними), хоча це явно не так на буденних, нерелятивістських швидкостях.
Фізика цього експерименту
Релятивістське співвідношення імпульсу та енергії
Для релятивістської частинки імпульс та кінетична енергія пов'язані через (pc)² = K(K + 2mc²), виведене з повного релятивістського співвідношення енергія-імпульс E² = (pc)² + (mc²)². Воно зводиться до знайомої нерелятивістської p = √(2mK) лише коли K ≪ mc².